已知函数fx是定义在r上的奇函数(设函数fx是定义在R上的奇函数)
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2024-06-25
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1. 已知函数fx是定义在r上的奇函数,设函数fx是定义在R上的奇函数?
由题意,函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0∵对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),∴函数的周期为4,∴f(2012)=f(4×503)=f(0)=0∵当x∈(-2,0)时,f(x)=2x,∴f(-1)=12,∴f(1)=-12∴f(2013)=f(4×503+1)=f(1)=-12∴f(2012)-f(2013)=12故选B
2. 是定义在R上的偶函数?
(1)∵y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x 2 -2x, 当x<0时,-x>0, f(-x)=(-x) 2 -2(-x)=x 2 +2x, ∴f(x)=f(-x)=x 2 +2x, ∴f(x)= x 2 -2x,x≥0 x 2 +2x,x<0 . (2)∵f(x)= x 2 -2x,x≥0 x 2 +2x,x<0 , ∴当x≥0时,y=x 2 -2x,抛物线开口向上,对称轴方程为x=1,顶点坐标(1,-1), 当y=0时,x 1 =0,x 2 =2;当x=0时,y=0. 当x<0时,y=x 2 +2x,抛物线开口向上,对称轴方程为x=-1,顶点坐标(-1,-1), 当y=0时,x=-2. 由此能作出函数f(x)的图象如下: 结合图象,知f(x)的增区间是(-1,0),(1,+∞);减区间是(-∞,-1),(0,1).
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1. 已知函数fx是定义在r上的奇函数,设函数fx是定义在R上的奇函数?
由题意,函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0∵对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),∴函数的周期为4,∴f(2012)=f(4×503)=f(0)=0∵当x∈(-2,0)时,f(x)=2x,∴f(-1)=12,∴f(1)=-12∴f(2013)=f(4×503+1)=f(1)=-12∴f(2012)-f(2013)=12故选B
2. 是定义在R上的偶函数?
(1)∵y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x 2 -2x, 当x<0时,-x>0, f(-x)=(-x) 2 -2(-x)=x 2 +2x, ∴f(x)=f(-x)=x 2 +2x, ∴f(x)= x 2 -2x,x≥0 x 2 +2x,x<0 . (2)∵f(x)= x 2 -2x,x≥0 x 2 +2x,x<0 , ∴当x≥0时,y=x 2 -2x,抛物线开口向上,对称轴方程为x=1,顶点坐标(1,-1), 当y=0时,x 1 =0,x 2 =2;当x=0时,y=0. 当x<0时,y=x 2 +2x,抛物线开口向上,对称轴方程为x=-1,顶点坐标(-1,-1), 当y=0时,x=-2. 由此能作出函数f(x)的图象如下: 结合图象,知f(x)的增区间是(-1,0),(1,+∞);减区间是(-∞,-1),(0,1).
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